Энциклопедический словарь, 1998 г.
метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объемов.
Большая Советская Энциклопедия
метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов. Название «метод исчерпывания» введено в 17 в. Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины А строится некоторая последовательность величин C1, C2, ..., Cn, ... так, что Cn < A;═══════════════════════════════════════════════════════════(
-
предполагают также известным такое В, что
Cn < В════════════════════════════════════════════════════════════(
-
и при любом целом К для достаточно больших n удовлетворяются неравенства
К (A ≈ Cn) < D, К (В ≈ Cn) < D,═══════════════════════(
-
где D ≈ постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству
А = В══════════════════════════════════════════════════════════════(
-
достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует
Математики древности, не располагавшие теорией пределов , обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств А < В, В < А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса ≈ Архимеда (см. Архимеда аксиома ) устанавливали, что для R = B ≈ А существует такое К, что KR > D и в силу условия (1) получали
К (В ≈ Cn) > К (В ≈ A) > D,
что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).
Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием ≈ Архимед. Например, для определения площади сегмента А параболы Архимед строит площади C1, C2, ..., «исчерпывающие» при их постепенном нарастании площадь A сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этом
Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу,
Архимед геометрически доказывает, что при любом n
Вводя площадь
Архимед получает, что
и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что