Что значит "двойное отношение"

(сложное, или ангармоническое) четырёх точек M1, M2, Мз, M4 на прямой (рис. 1), число, обозначаемое символом (M1M2M3M4) и равное

При этом отношение M1M3/M3M2 считается положительным, если направления отрезков M1M3 и M3M2 совпадают, и ≈ отрицательным при различных направлениях. Д. о. зависит от порядка нумерации точек, который может отличаться от порядка следования точек на прямой. Наряду с Д. о. четырёх точек, рассматривается Д. о. четырёх прямых, проходящих через точку О. Это отношение обозначается символом (m1m2m3m4). Оно равно

причём угол (mi mj) между прямыми miи mj) рассматривается со знаком.

Если точки M1, M2, Мз, M4 лежат на прямых m1, m2, m3, m4 (рис. 1), то

(M1M2M3M4) = (m1m2m3m4),

поэтому, если точки M1, M2, Мз, M4 и M▓1, M2▓, Мз▓, M4▓ получены пересечением одной четвёрки прямых m1, m2, m3, m4 (рис. 1), то (M1▓, M2▓, Мз▓, M4▓) = (M1M2M3M4).

Если же прямые m1, m2, m3, m4 и m1▓, m2▓, mз▓, m4▓ проектируют одну четвёрку точек M1, M2, Мз, M4 (рис. 2), то (m1▓ m2▓ mз▓ m4▓) = (m1m2m3m4).

Д. о. не меняется также и при любых проективных преобразованиях , т. е. является инвариантом таких преобразований, и поэтому Д. о. играют важную роль в проективной геометрии . Особенно важную роль играют четвёрки точек и прямых, для которых Д. о. равно ≈ 1. Такие четвёрки называют гармоническими (см. Гармоническое расположение .).

Э. Г. Позняк.

Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение) четверки чисел a, b, c, d ( вещественных или комплексных ) определяется как