Википедия
Гельмгольциа́н — в гидродинамике векторный (преобразующий векторное поле в векторное поле) линейный дифференциальный оператор определяемый для движущейся жидкости или газа. Гельмгольциан обозначается символом helm. Гельмгольциан над векторным полем $\bold A$ определяется формулой
$\ \operatorname{helm} \bold A \equiv \frac {\partial \bold A}{\partial t} + ( v \cdot \nabla) \bold A - ( \bold A \cdot \nabla) v + \bold A ( \nabla \cdot v)$,где $\bold v$ — вектор скорости потока жидкости или газа, ∇ — оператор набла .
Оператор гельмгольциан внедрён в обиход Александром Фридманом , и назван в честь Германа Гельмгольца .
Гидродинамический смысл гельмгольциана заключается в том, что равенство $\ \operatorname{helm} \bold A = 0$ означает «вмороженность» векторного поля $\ \bold A$ в движущуюся жидкость, понимаемую в том смысле, что каждая векторная линия этого поля (то есть линия, касательная к которой в любой её точке имеет направление вектора $\ \bold A$ в этой точке) сохраняется, то есть всё время состоит из одних и тех же частиц жидкости, а интенсивность векторных трубок , то есть потоки $\ \int\limits_\sigma ( \bold A \cdot d \bold \sigma )$ вектора $\ \bold A$ через любые сечения $\ \bold\sigma$ этих трубок, не меняются со временем. Гельмгольциан используется в геофизической гидродинамике , магнитной гидродинамике .