Что значит "верхняя и нижняя грани"

(математические), важные характеристики множеств на числовой прямой. Верхняя грань (В. г.) множества Е действительных чисел ≈ наименьшее из всех чисел А, обладающих тем свойством, что для любого х из Е выполняется неравенство х £ А. Иными словами, В. г. множества Е ≈ это такое число a, что для любого x из Е выполняется неравенство x £ a и для любого a" < а найдётся число x0 из Е, для которого x0 > a". В этом определении множество Е предполагается не пустым. Для существования В. г. необходимо и достаточно, чтобы множество Е было ограничено сверху, то есть, чтобы существовали такие числа А, что х £ А для любого x из Е. Это предложение представляет собой одну из форм принципа непрерывности числовой прямой (так называемый принцип непрерывности Вейерштрасса). Если среди чисел множества Е есть наибольшее, то оно и является В. г. Е. Однако, если среди чисел Е нет наибольшего, то это множество всё же может иметь В. г. Например, В. г. множества всех отрицательных чисел равна 0. Множество всех положительных чисел не ограничено сверху и поэтому не имеет В. г.; иногда говорят, что его В. г. равна + ¥. Аналогично понятию В. г. множества определяется нижняя грань (Н. г.) множества Е как наибольшее из чисел В, обладающих тем свойством, что для любого х из Е выполняется неравенство x ³ B. В. г. множества Е обозначается sup Е (от латинского supremum ≈ наивысший); Н. г. обозначается inf Е (от латинского infirnum ≈ наинизший). Важность понятий В. г. и Н. г. для математического анализа была выяснена немецким математиком К. Вейерштрассом , они являются основными для строгого изложения начал математического анализа. Аналогично понятию В. г. (Н. г.) для числовых множеств вводятся понятия В. г. (Н. г.) для любых частично упорядоченных множеств.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд.. т. 1, М., 1966.

С. Б. Стечкин.