Что значит "биномиальный коэффициент"

коэффициент в формуле разложения Ньютона бинома.

В математике биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома Ньютона (1 + x) по степеням x. Коэффициент при x обозначается $\textstyle\binom{n}{k}$ или $\textstyle C_n^k$ и читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «це из n по k»): для натуральных степеней n. Биномиальные коэффициенты могут быть также определены для произвольных действительных чисел n. В случае произвольного действительного числа n биномиальные коэффициенты определяются как коэффициенты разложения выражение (1 + x) в бесконечный ряд Тейлора :

$(1+x)^n=\sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^k,$

Для неотрицательных целых n все коэффициенты с индексами k>n в этом ряду являются нулевыми (т.е. $\textstyle\binom{n}{k}=0$), и поэтому данное разложение представляет собой конечную сумму .

В комбинаторике биномиальный коэффициент $\textstyle\binom{n}{k}$ для неотрицательных целых чисел n и k интерпретируется как количество сочетаний из n по k, то есть количество всех подмножеств ( выборок ) размера k в n-элементном множестве .

Биномиальные коэффициенты часто возникают в задачах комбинаторики и теории вероятностей . Обобщением биномиальных коэффициентов являются мультиномиальные коэффициенты .