Значение слова k-функция

K-функция, обычно обозначаемая K(z), является обобщением гиперфакториала для комплексных чисел , подобно тому, как Гамма-функция является обобщением для факториала .

Формально, K-функция определяется, как

$K(z)=(2\pi)^{(-z-1)/2} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1} \ln(t!)\,dt\right].$

Также определяется в замкнутой форме:

K(z) = exp[ζ( − 1, z) − ζ( − 1)]

где ζ"(z) обозначает производную дзета-функции Римана , ζ(a,z) — это дзета-функция Гурвица и

$\zeta^\prime(a,z)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left[\frac{d\zeta(s,z)}{ds}\right]_{s=a}.$

K-функция связана с Гамма-функцией и с G-функцией Барнса ; для целых чисел n можно написать:

$K(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)}.$

Также

K(n + 1) = 1 2 3⋯n.

Для положительных аргументов принимает минимальное значение 0.879786843… в точке x = 0.53768886….