Большая Советская Энциклопедия
функциональный определитель ½aik½1n с элементами , где yi = fi (X1,..., Xn), l £ i £ n, ≈ функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение: . Введён К. Якоби (1833, 1841). Если, например, n = 2, то система функций y1 = f1 (. x1, x2), y2 = f2(x1, x2) (1) задаёт отображение области D, лежащей на плоскости x1, x2, на часть плоскости y1, y2. Роль Я. для этого отображения во многом аналогична роли производной для функции одной переменной. Например, абсолютное значение Я. в некоторой точке М равно коэффициенту искажения площадей в этой точке (т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки М к площади самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Я. в точке М положителен, если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае. Если Я. не обращается в нуль в области D и j (y1, у2) ≈ функция, заданная в области D1 (образе D), то (формула замены переменных в двойном интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов . Если Я. отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное отображение x1 = j1(y1, y2), x1 = j2(y1, y2), причём (аналог формулы дифференцирования обратной функции). Это утверждение находит многочисленные применения в теории неявных функций . Для возможности явного выражения в окрестности точки М (x1(0),..., xn (0, y1(0),..., ym (0)) функций y1,..., ут, неявно заданных уравнениями Fk (x1,..., xn, y1,..., ум) = 0, (2) 1 £ k £ m, достаточно, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнениям (2), функции Fk имели непрерывные частные производные и Я. был отличен от нуля в точке М. Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 197
Википедия
Якобиа́н (определитель Яко́би , функциональный определитель) — определитель матрицы Якоби :
\det \begin{pmatrix} {\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\ {\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ {\partial u_n \over \partial x_1}(x) & {\partial u_n \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_n \over \partial x_n}(x) \end{pmatrix}
для векторной функции $\mathbf{u}:\R^n\to\R^n, \mathbf{u}=(u_1, \ldots ,u_n), u_i = u_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , n ,$ имеющей в некоторой точке x все частные производные первого порядка (определитель Якоби или якобиан системы функций u, …, u).
Также якобианом иногда называют саму матрицу Якоби , а не её определитель. По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.
- Часто используются следующие обозначения якобиана: