Большая Советская Энциклопедия
Эрмита многочлены
специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0,1,2,... Э. м. Hn (x) могут быть определены формулой:
.
В частности, Ho = 1, H1 = 2х. H2 = 4x2 ≈ 2, H3 = 8x3 ≈ 12x, H4= 16х4 ≈ 48х2 + 12. Э. м. ортогональны на всей оси Ox относительно веса е-х ( ортогональные многочлены ). Дифференциальное уравнение для у = Hn (x).
y" ≈ 2ху" + 2ny = 0;
рекуррентные формулы:
Hn+1(х) ≈ 2xHn (x) + 2nHn-1(х) = 0,
.
Иногда за Hn принимают многочлены, отличающиеся от указанных выше множителями, зависящими от n, а иногда в качестве веса берут . Основные свойства этой системы были изучены П. Л. Чебышевым (1859) и Ш. Эрмитом (1864).