Что значит "пустое множество"

понятие теории множеств; пустое множество - множество, не содержащее ни одного элемента; обозначается ? или 0. Понятие пустое множество (подобно понятию "нуль") возникает из потребности, чтобы результат всякой операции над множествами был также множеством.

(математическое), «множество», не содержащее ни одного элемента. Понятие «П. м.» (подобно понятию «нуль»; возникает из потребности, чтобы результат всякой операции над множествами был также множеством (см. Множеств теория ). Источником понятия «П. м.» является и самый способ задания множества характеристическим свойством его элементов, ибо может оказаться заранее неизвестным существуют ли на самом деле элементы, обладающие этим свойством. Так до сих пор неизвестно (1975), разрешимо ли, вообще говоря, в натуральных числах х, у, z уравнение xn + yn = zn где n ≈ целое число, большее двух (т. е. пусто или непусто множество тех n > 2, для которых упомянутое уравнение разрешимо в натуральных числах).

Пусто́е мно́жество (в математике ) — множество , не содержащее ни одного элемента . Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим подмножеством , но не является своим элементом.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента . Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество , и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим ), и вполне упорядоченным множеством . Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом . В топологии , пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

 ∈ -цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности ). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества ), в других — доказывается.

Пустое множество играет исключительно важную роль в математике.