Что значит "поле направлений"

совокупность точек плоскости хОу, в каждой из которых задано определённое направление, изображающееся обычно стрелкой (небольшим отрезком), проходящей через данную точку. Если дано уравнение y" = -f (x, у), то в каждой точке (х0, у0) некоторой области плоскости хОу известно значение углового коэффициента k = f (x0, y0) касательной к интегральной кривой , проходящей через эту точку; направление касательной можно изобразить стрелкой (небольшим отрезком). Таким образом, это дифференциальное уравнение определяет П. н.; наоборот, П. н., заданное в некоторой области плоскости хОу, определяет дифференциальное уравнение вида y" = f (x, y). Проводя достаточно густую сеть изоклин [линий одинакового наклона П. н. f (x, у) = С, где С ≈ постоянная], можно приближённо построить семейство интегральных кривых как совокупность линий, имеющих в каждой своей точке направление, совпадающее с направлением поля (метод изоклин). На рис. изображено П. н. уравнения у" = х2+ у2; тонкие линии (окружности) ≈ изоклины; жирные линии ≈ интегральные кривые.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970.

По́ле направле́ний — геометрическая интерпретация множества линейных элементов , соответствующих системе обыкновенных дифференциальных уравнений

$\dot x_i=f_i(t, x_1,..., x_n), i=1,...,n$.

Для системы в симметричной форме

$\frac {dt}{f_0(t, x_1,..., x_n)}=\frac {dx_1}{f_1(t, x_1,..., x_n)}=...=\frac {dx_n}{f_n(t, x_1,..., x_n)}$

среди направлений поля возможны ортогональные оси t.

Любая интегральная кривая системы обыкновенных дифференциальных уравнений в каждой своей точке касается отвечающего этой точке направления поля, и любая кривая, обладающая этим свойством, является интегральной кривой системы.