Википедия
Пентакисдодека́эдр — полуправильный многогранник , двойственный усечённому икосаэдру . Составлен из 60 одинаковых остроугольных равнобедренных треугольников , в которых один из углов равен $\arccos \, \frac{9\sqrt5-7}{36} \approx 68,62^\circ,$ а два других $\arccos \, \frac{9-\sqrt5}{12} \approx 55,69^\circ.$
Имеет 32 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра ) сходятся своими бо́льшими углами по 5 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра ) сходятся меньшими углами по 6 граней.
У пентакисдодекаэдра 90 рёбер — 30 «длинных» и 60 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos \left(-\frac{80+9\sqrt5}{109}\right) \approx 156,72^\circ.$
Пентакисдодекаэдр можно получить из додекаэдра , приложив к каждой его грани правильную пятиугольную пирамиду с основанием, равным грани додекаэдра, и высотой, которая в $\sqrt{65-22\sqrt5} \approx 3,98$ раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 5 граней вместо каждой из 12 граней исходного — с чем и связано его название.