Что значит "ортогональные многочлены"

специальные системы многочленов {рп (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом r(х) на отрезке [а, b ] (см. Ортогональная система функций ). Нормированная система О. м. обозначается через , а система О. м., старшие коэффициенты которых равны 1,≈ через . В краевых задачах математической физики часто встречаются системы О. м., для которых вес r(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона) Многочлен рп (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению где gn=n [(a1 + (n +

1. b2].

   Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и r(х).

   1) Якоби многочлены {Рп (l,m)(х)} ≈ при а = ≈1, b = 1 r(х) = (1≈х)l (1 + x)m, l > ≈1, m > ≈1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям l и m: l = m≈ ультрасферические многочлены ═(их иногда называют многочленами Гегенбауэра); l = m = ≈1/2, т. е. ═≈ Чебышева многочлены 1-го рода Tn (x); l = m = 1/2, т. е. ═≈ Чебышева многочлены 2-го рода Un (x); l = m = 0, т. е. r(х) º 1 ≈ Лежандра многочлены Рп (х).

2. Лагерра многочлены Ln (x) ≈ при а = 0, b = + ¥ и r(х) = е≈х (их наз. также многочленами Чебышева ≈ Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра ═≈ при .

3. Эрмита многочлены Нn (х) ≈ при а = ≈¥, b = + ¥ и ═(их называют также многочленами Чебышева ≈ Эрмита).

   О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов рn (х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b ]. Между двумя последовательными нулями многочлена рn (х) лежит один нуль многочлена pn+1(х). Многочлен рn (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига

   где An ≈ постоянное, а b(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами замкнутости. Три последовательных О. м. , ,связаны рекуррентным соотношением:

   ,

   где ап+2 и ln+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если

   ,

   то

   ;

   Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым . Основным аппаратом изучения О. м. явилось для него разложение интеграла ═в непрерывную дробь с элементами вида х ≈ an и числителями ln≈1. Знаменатели jn (х)/рn (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [a, b ] относительно веса r(х).

   Приведённые выше классические системы О. м. выражаются через гипергеометрическую функцию .

   Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций .

   В. И. Битюцков.

ref="Чебышёв, Пафнутий Львович">Пафнутий Львович Чебышёв В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов

где каждый многочлен p(x) имеет степень n, а также любые два различных многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения , заданного в пространстве L .

Понятие ортогональных многочленов было введено в конце XIX в. в работах Чебышёва П. Л. по непрерывным дробям и позднее развито Марковым А. А. и Стилтьесом Т. И. и нашло различные применения во многих областях математики и физики .