Что значит "обратные тригонометрические функции"

общее название функций арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, арксеканса, арккосеканса, каждая из которых выражает величину дуги (или угла), соответствующей данному значению х тригонометрической функции, название которой получается отбрасыванием приставки "арк". Напр., арксинус (обозначается: arcsinx) обозначает дугу, синус которой равен х.

аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х («арксинус x») ≈ функция, обратная sin х; 2) Arc cos x («арккосинус x») ≈ функция, обратная cos х; 3) Arc tg x («арктангенс x») ≈ функция, обратная tg х; 4) Arc ctg x («арккотангенс x») ≈ функция, обратная ctg x; 5) Arc sec x («арксеканс x») ≈ функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x («арккосеканс x») ≈ функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, например, х = Arc sin a есть любое решение уравнения sin х = a, т.е. sin Arc sin a = a. Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для |х| £ 1, функции Arc tg х и Arc ctg х ≈ для всех действительных х, а функции Arc sec х и Arc cosec х:≈для |х| ³ 1; две последние функции малоупотребительны. Так как тригонометрические функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями. Определённые однозначные ветви (главные ветви) этих функций обозначаются так: arc sin х, arc cos x,..., arc cosec x. Именно, arc sin х есть та ветвь функции Arc sin х, для которой ≈ p/2 £ arc sin х £ p/2. Аналогично, функции arc cos х, arc tg х и arc ctg х определяются из условий: 0 £ arc cos х £ p, ≈ p/2 < arc tg x < p/2, 0 <arc ctg x < p. На рис. изображены графики функций у = Arc sin x, у = Arc cos x, у = Arc tg x, у = Arc ctg x; главные Arc cos x = ╠ arc cos x +2pn,ветви этих функций выделены жирной линией. О. т. ф. Arc sin х,... легко выражаются через arc sin x,..., например n = 0, ╠1, ╠2, ┘ Известные соотношения между тригонометрическими функциями приводят к соотношениям между О. т. ф., например из формулы вытекает, что Производные О. т. ф. имеют вид О. т. ф. могут быть представлены степенными рядами, например эти ряды сходятся для ≈1 £ x £

1. О. т. ф. можно определить для произвольных комплексных значений аргумента; однако их значения будут действительными лишь для указанных выше значений аргумента. О. т. ф. комплексного аргумента могут быть выражены с помощью логарифмической функции, например

   .

   Лит.: Новоселов С. И., Обратные тригонометрические функции, 3 изд., М., 1950.

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции , являющиеся обратными к тригонометрическим функциям . К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• арксинус (обозначение : arcsin x; arcsin x — это угол , синус которого равен x)
• арккосинус (обозначение: arccos x; arccos x — это угол, косинус которого равен x и т. д.)
• арктангенс (обозначение: arctg x; в иностранной литературе arctan x)
• арккотангенс (обозначение: arcctg x; в иностранной литературе arccot x или arccotan x)
• арксеканс (обозначение: arcsec x)
• арккосеканс (обозначение: arccosec x; в иностранной литературе arccsc x)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» . Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности , соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика Карла Шерфера (; 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу . Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: $\sin^{-1}, \frac{1}{\sin}$ , но они не прижились. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin, cos для арксинуса, арккосинуса и т. п., — это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов ( дуг ), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданому числу. Например, arcsin1/2 означает множество углов $\left ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right )$, синус которых равен 1/2. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения , которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т.д.
В общем случае при условии  − 1 ≤ α ≤ 1 все решения уравнения sinx = α можно представить в виде x = ( − 1)arcsinα + πn,  n = 0,  ± 1,  ± 2, … .