Что значит "натуральный логарифм"

логарифм, основание которого - неперово число е = 2,718 28... Натуральный логарифм числа а обозначают ln а.

логарифм , основанием которого служит число е = 2,71828... Первые таблицы Н. л. чисел от 1 до 1000 были опубликованы английским математиком Дж. Спейделем в «Новых логарифмах» (1619); название «Н. л.» принадлежит немецкому учёному Н. Меркатору (1668). Н. л. числа N обозначается In N.

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e , где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281828. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), log(x) или иногда просто log(x), если основание e подразумевается. Другими словами, натуральный логарифм числа x — это показатель степени , в которую нужно возвести число e, чтобы получить x.

Примеры.

ln(7,389...) равен 2, потому что e=7,389.... ln(e) равен 1, потому что e = e ln(1) равен 0, потому что e = 1.

Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a. Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется натуральный логарифм, привела к появлению названия «натуральный». Это определение можно расширить на комплексные числа , о чём будет сказано ниже.

Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции , что приводит к тождествам:

e = a (a > 0) ln(e) = a

Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)
С точки зрения общей алгебры , логарифмическая функция осуществляет изоморфизм группы положительных действительных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению:

ln : R → R.

Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма. Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада, или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности . Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.