Что значит "мощность множества"

в математике, обобщение на произвольные множества понятия «число элементов». М. м. определяется методом абстракции как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных (количественно) данному; при этом два множества называемых эквивалентными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие . Мощности называются часто кардинальными (т. е. количественными) числами. Наименьшей бесконечной мощностью является À0 ≈ М. м. натуральных чисел. Понятие М. м. введено основателем теории множеств Г. Кантором (1878), который установил, что М. м. действительных чисел с больше À0, и тем самым показал, что бесконечные множества могут быть расклассифицированы по их мощности. Подробнее см. Множеств теория .

Мо́щность мно́жества, кардина́льное число́ мно́жества — характеристика множеств (в том числе бесконечных ), обобщающая понятие количества элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

1. Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие ( биекция ), содержат одинаковое количество элементов .
2. Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно-однозначное соответствие.
3. Часть множества не превосходит полного множества по мощности .

До построения теории мощности множеств множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества A обозначается через ∣A∣. Иногда встречаются обозначения $\overline{\overline{A}}$, #A и card(A).