Что значит "метрический тензор"

совокупность величин, определяющих геометрические свойства пространства (его метрику). В общем случае риманова пространства n измерений метрика определяется заданием квадрата расстояния ds2 между двумя бесконечно близкими точками (x1, x2,..., xn) и (x1+ dx1, x2+ dx2,..., xn+ dxn):

где x1, x2,..., xn ≈ координаты, gik ≈ некоторые функции координат. Совокупность величин gik образует тензор второго ранга, который и называется М. т. Этот тензор симметричен, т. е. gik = gki. Вид компонент М. т. gik зависит от выбора системы координат, однако ds2 не меняется при переходе от одной координатной системы к другой, т. е. является инвариантом относительно преобразований координат. Если выбором системы координат можно привести М. т. к виду

то пространство является плоским, евклидовым пространством (для трёхмерного пространства ds2 = dx2+ dy2+dz2, где x1 = х, x2 = у, x3 = z ≈ декартовы прямоугольные координаты). Если никаким преобразованием координат нельзя привести М. т. к виду (2), пространство является искривленным и кривизна пространства определяется М. т.

В теории относительности М. т. определяет метрику пространства-времени .

Лит. см. при статьях Римановы геометрии , Относительности теория , Тяготение .

Г. А. Зисман.

Метри́ческий те́нзор или ме́трика — это симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии , посредством которого задаются скалярное произведение векторов в касательном пространстве , длины кривых, углы между кривыми и т. д.

В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой .

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля на четырехмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

• (Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна , то есть по каждому повторяющемуся индексу).