Энциклопедический словарь, 1998 г.
одна из предельных теорем теории вероятностей. Устанавливает весьма общие условия сходимости распределения суммы независимых случайных величин к нормальному распределению. Доказана А. М. Ляпуновым (1901).
Большая Советская Энциклопедия
в теории вероятностей, теорема, устанавливающая некоторые весьма общие достаточные условия для сходимости распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону. Сформулирована и доказана А. М. Ляпуновым в 190
-
Л. т. завершает исследования П. Л. Чебышева , А. А. Маркова (старшего) и самого А. М. Ляпунова в этом основном для всей теории вероятностей направлении. Точная формулировка Л. т. такова: пусть независимые случайные величины Xi,..., Xn, ... имеют конечные математические ожидания EXk, дисперсии DXk и при d > 0 абсолютные моменты ═и пусть ═≈ дисперсия суммы Xi,..., Xn. Утверждается, что, если при некотором d>0
(условие Ляпунова), то вероятность неравенства
стремится при n ╝ ¥ к пределу
равномерно относительно всех значений x1 и x
-
Ляпунов дал также оценку скорости сходимости в Л. т. В дальнейшем были установлены условия, расширяющие условие Ляпунова и являющиеся не только достаточными, но в некотором смысле необходимыми. См. Предельные теоремы теории вероятностей.
Лит.: Ляпунов А. М., Новая форма теоремы о пределе вероятности, Собрание сочинений, т. 1, М., 1954, с. 157; Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М. ≈ Л., 1946, с. 275.
А. В. Прохоров.