Что значит "линейные дифференциальные уравнения"

дифференциальные уравнения вида y(n) + p1(x) у(n-

1. + ... + pn(x)y = f(x), (1)

   где у = y(x) ≈ искомая функция, y(n), у(n-1),..., y" ≈ её производные, a p1(x), p2(x),..., pn(x) (коэффициенты) и f(x) (свободный член) ≈ заданные функции (см. Дифференциальные уравнения ). В уравнение (1) искомая функция у и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно называется линейным. Если f(x) º 0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае ≈ неоднородным. Общее решение y0 = y0(x) однородного Л. д. у. при условии непрерывности его коэффициентов pk(x) выражается формулой:

   y0 = C1y1(x) + С2у2(х) + ... + Cnyn(x),

   где C1, C2,..., Cn ≈ произвольные постоянные и y1(x), у2(х),..., yn(x) ≈ линейно независимые (см. Линейная зависимость ) частные решения, образующие т. н. фундаментальную систему решений. Критерием линейной независимости решений служит неравенство нулю (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского ( вронскиана ):

   ═(

2. Общее решение у = у(х) неоднородного Л. д. у. (1) имеет вид:

   y = y0+Y,

   где y0 = y0(x) ≈ общее решение соответствующего однородного Л. д. у. и Y = Y(x) ≈ частное решение данного неоднородного Л. д. у. Функция Y(x) может быть найдена по формуле:

   где yk(x) ≈ решения, составляющие фундаментальную систему решений однородного Л. д. у., и Wk(x) ≈ алгебраическое дополнение элемента yk(n-1)(x) в определителе (2) Вроньского W(x).

   Если коэффициенты уравнения (1) постоянны: pk(x) = ak (k = 1, 2, ..., n), то общее решение однородного уравнения выражается формулой:

   где ak ╠ ibk (k = 1, 2, ..., m; ) ≈ корни т. н. характеристического уравнения:

   ln + a1ln-1 + ... +an = 0,

   nk ≈ кратности этих корней и Cks, Dks ≈ произвольные постоянные.

   Пример. Для Л. д. у. y▓▓▓ + у = 0 характеристическое уравнение имеет вид: l3 + 1 = 0. Его корнями являются числа:

   l1 = -1; l2 = ═и l3 =

   Следовательно, общее решение этого уравнения таково:

   .

   Системы Л. д. у. имеют вид:

   ═(

3. (j = 1, 2, ..., n).

   Общее решение однородной системы Л. д. у. [получаемой из системы (3), если все fj(x) º 0] даётся формулами:

   (j = 1, 2, ..., n)

   где yj1, yj2, ..., yjn ≈ линейно независимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель ½yjk(x)½ ¹ 0 хотя бы в одной точке).

   В случае постоянных коэффициентов pjk(x) = ajk частные решения однородной системы следует искать в виде:

   (j = 1, 2, ..., n),

   где Ajs ≈ неопределённые коэффициенты, a lk ≈ корни характеристического уравнения

   и mk ≈ кратность этих корней. Полный анализ всех возможных здесь случаев проводится с помощью теории элементарных делителей [см. Нормальная (жорданова) форма матриц ].

   Для решения Л. д. у. и систем Л. д. у. с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.

   Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 20 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970.