Что значит "линейное преобразование"

1. линейное преобразование переменных x1, x2,..., xn, замена этих переменных на новые y1, y2,..., yn, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т.е. по формулам: здесь aij, bj (i, j ?1,..., n) произвольные числа.

2. линейное преобразование векторного пространства, преобразование y?Ax этого пространства, обладающее свойством линейности: если y1?Ax1, y2?Ax2, то A(C1x1+C2x2)?C1y1+C2y2, где C1, C2 - числа.

переменных x1, x2, ..., xn ≈ замена этих переменных на новые x"1, x▓2, ..., x"n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам: x1 = a11x▓1 + a12x▓2 + ... + annx▓n + b1, x2 = a21x▓1 + a22x▓2 + ... + a2nx▓n + b2, ... xn = an1x▓1 + an2x▓2 + ... + annx▓n + bn, здесь aijи bi(i, j = 1,2, ..., n) ≈ произвольные числовые коэффициенты. Если b1, b2,..., bn все равны нулю, то Л. п. переменных называют однородным. Простейшим примером Л. п. переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости х = x" cos a - y" sin a + a, у = x" sin a + y" cos a + b. Если определитель D = ½aij½, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x"1, x"2, ..., x"n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат и x▓ =x cos a + ysin a + a1 y▓ = -x sin a + cos a + b1 где a1 = - a cos a - b sin a, b2 = a sin a - b cos (. Другими примерами Л. п. переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п. Л. п. векторов (или Л. п. векторного пространства ) называют закон, по которому вектору х из n-мерного пространства ставят в соответствие новый вектор x", координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х: x▓1 = a11x1 + a12x2 + ... +a1nxn x▓2 = a21x1 + a22x2 + ... +a2nxn ... x▓n = an1x1 + an2x2 + ... +annxn, или коротко x" = Ax. Например, операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Л. п. трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х, у, z сопоставляется новый вектор b, координаты x", y"., z" которого выражаются через х, у, z следующим образом : x" = х, y" = у, z" = 0. Пример Л. п. плоскости ≈ поворот её на угол a вокруг начала координат. Матрицу , составленную из коэффициентов Л. п. А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Л. п. проектирования и поворота будут соответственно ═и . Л. п. векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х╝у = Ax называют Л. п., если выполняются условия А(х + у) = Ax + Ау и A(ax) = aА(х) для любых векторов х и у и любого числа a. В разных системах координат одному и тому же Л. п. будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат. К Л. п. относится, в частности, нулевое Л. п. О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = 0 и единичное Л. п. Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы. Для Л. п. векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Л. п. А и В называют Л. п. С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением Л. п. А и В называют результат их последовательного применения: С = AB, если Cx = А(Вх). В силу этих определений совокупность всех Л. п. векторного пространства образует кольцо . Матрица суммы (произведения) Л. п. равна сумме (произведению) матриц Л. п. слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности . Л. п. можно также умножать на числа: если Л. п. А переводит вектор х в вектор у = Ax, то aА переводит х в aу. Примеры операций над Л. п.:

1. Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а AB = 0.

2. А и В ≈ повороты плоскости вокруг начала координат на углы j и ; AB будет поворотом на угол j + .

3. Произведение единичного Л. п. Е на число a будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) a.

   Л. п. В называют обратным к Л. п. А (и обозначают А-1), если BA = Е (или AB = Е). Если Л. п. А переводило вектор х в вектор у, то Л. п. А-1 переводит у обратно в х. Л. п., обладающее обратным, называют невырожденным; такие Л. п. характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Л. п. заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные ≈ в комплексных пространствах) Л. п. Ортогональные Л. п. не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Л. п. в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: åkaikajk = åkakiakj = 0 при i ¹ j, åka2ik = åka2ki = 1 (в комплексном пространстве åkaikjk = åkakikj = 0, åk|ajk|2 = åk|aki|2 = 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, ≈ в комплексном пространстве) Л. п. называют такое Л. п., матрица которого симметрическая: aij = aji (или (aij = ij). Симметрические Л. п. осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Л. п. связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).

   Приведённое выше определение Л. п. в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Л. п. в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами .

   Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. P., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970.