Что значит "лежандра многочлены"

специальная система многочленов, ортогональных с весом 1 на отрезке [-1; 1]. Рассматривались А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782-85).

сферические многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Впервые рассматривалась А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782≈85) независимо друг от друга. Для n = 0,1,2,... Л. м. Р (х) могут быть определены формулой:

в частности:

, ,

и т.д. Все нули многочлена Pn (x) ≈ действительные и лежат в основном промежутке [≈1, +1], перемежаясь с нулями многочлена Pn+i (x). Л. м. ≈ ортогональные многочлены с весом 1 на отрезке [≈1, +1,]; они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд по Л. м. произвольной функции f (x), интегрируемой на отрезке [≈1, +1]:

где .

Характер сходимости рядов по Л. м. примерно тот же, что и рядов Фурье.

Явное выражение для Л. м.:

.

Производящая функция:

(Л. м. ≈ коэффициенты при n-й степени в разложении этой функции по степеням t). Рекуррентная формула:

nPn (x) + (n - 1) Pn-2(x) - (2n - 1) xPn-1(x) = 0.

Дифференциальное уравнение для Л. м.

возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. См. также Сферические функции .

Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М. ≈ Л., 1963.

В. Н. Битюцков.