Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков
конаться
конаюсь, конаешься, несов. (обл.).
Перехватывать поочередно палку руками от одного конца до другого для того, чтобы определить, кому первому играть или начинать какую-н. работу (т. е. последнему ухватившему).
Вообще бросать жребий.
Тягаться, состязаться.
Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.
конаться
несов. местн. Перехватывать по очереди руками палку или веревку от одного конца до другого, чтобы определить, кому первому играть, начинать работу и т.п.; решать жеребьевкой.
Примеры употребления слова конаться в литературе.
Он и энтот год смухлевал, - вступилась Дарья, - отбивали улеши, так он подговаривал все Малашку Фролову конаться.
Источник: библиотека Максима Мошкова