Значение слова квантор

(от лат. quantum ≈ сколько), логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате её применения. В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа «все», «каждый», «некоторый», «существует», «имеется», «любой», «всякий», «единственный», «несколько», «бесконечно много», «конечное число», а также все количественные числительные. В формализованных языках , составной частью которых является исчисление предикатов , для выражения всех подобных характеристик оказывается достаточным К. двух видов: К. (все) общности (оборот «для всех х», обозначается через "x, ("x), (x) (Ax), ) и К. существования («для некоторых х», обозначения: $x, ($x), (Ех),

С помощью К. можно записать четыре основных формы суждений традиционной логики: «все А суть В» записывается в виде "x [A (x)É ÉB (x)], «ни одно A не есть B» ≈ в виде "x [A (x)ÉB (x)], «некоторые А суть B» ≈ в виде $x [A (x)&B (x)], «некоторые А не суть В» ≈ в виде $x [A (x)& B (x)] (здесь А (х) означает, что х обладает свойством A, É ≈ знак импликации , ═≈ отрицания , & ≈ конъюнкции ).

Часть формулы, на которую распространяется действие каких-либо К., называется областью действия этого К. (её можно указать с помощью скобок). Вхождение какой-либо переменной в формулу непосредственно после знака К. или в область действия К., после которого стоит эта переменная, называется её связанным вхождением. Все остальные вхождения переменных называются свободными. Формула, содержащая свободные вхождения переменных, зависит от них (является их функцией ); связанные же вхождения переменных можно «переименовывать»; например, записи $x (x = 2y) и $z (z = 2y) означают одно и то же, чего нельзя сказать о $x (x = 2y) и $x (x = 2t). Применение К. уменьшает число свободных переменных в логическом выражении и превращает (если К. не «фиктивный», т. е. относится к переменной, действительно входящей в формулу) трёхместный предикат в двухместный, двухместный ≈ в одноместный, одноместный ≈ в высказывание. Употребление К. кодифицируется специальными «постулатами квантификации» (присоединение которых к исчислению высказываний по существу и означает расширение его до исчисления предикатов), например, следующими «постулатами Бернайса»: аксиомами A (t) É $xA (x) и "xA (x) É A (t) и правилами вывода «если доказано С ÉА (х) É С, то можно считать доказанным и С É "хA (х)» и «если доказано А (х) ÉС, то можно считать доказанным и $ хA (x) É C» (здесь х не входит свободно в С).

К К. общности и существования сводятся и др. виды К., например вместо так называемого К. единственности $! x («существует единственный х такой, что») можно писать «обычные» К., заменяя $! xA (x) на

$ xA (x) &"y"z [A (y)&A (z) É y = z].

Аналогично, К., «ограниченный» каким-либо одноместным предикатом P (x)($xP (x), читается как «существует x, удовлетворяющий свойству Р и такой, что», а "xp (x) ≈ «для всех х, удовлетворяющих свойству Р, верно, что»), легко выразить через К. общности и существования и операторы импликации и конъюнкции:

$xp (x) A (x) º $x [P (x)&A (x)] и

"xp (x) A (x) º "x [P (x)ÉA (x)].

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72≈80, 130≈138; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42≈48.

Ю.А. Гастев.

Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих высказывание . Чаще всего упоминают:

• Квантор всеобщности .
• Квантор существования .

В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или квантификацией.

В многозначных логиках также вводятся и другие кванторы, например, квантор плюральности (обозначается перевёрнутой M, читается «для большинства …»).