Что значит "квадратичный вычет"

КВАДРАТИЧНЫЙ ВЫЧЕТ в теории чисел частный случай степенного вычета.

понятие теории чисел. К. в. по модулю m ≈ число а, для которого сравнение x2 º а (mod m) имеет решение: при некотором целом х число x2≈a делится на m; если это сравнение не имеет решений, то а называют квадратичным невычетом. Например, если m ═= 11, то число 3 будет К. в., так как сравнение x2 º 3 (mod 11) имеет решения х = 5, х = 6, а число 2 будет невычетом, т.к. не существует чисел х, удовлетворяющих сравнению x2 º 2 (mod 11). К. в. являются частным случаем вычетов степени n для n = 2. Если m равно простому нечётному числу р, то среди чисел 1, 2,..., р≈1 имеется (р≈1)/2 К. в. и (р≈1)/2 квадратичных невычетов. Для изучения К. в. по простому модулю р вводится Лежандра символ , определяемый так: если а взаимно просто с р, то полагают ═= 1, когда а ≈ К. в., и ═= ≈ 1, когда а ≈ квадратичный невычет. Основной теоремой в этом круге вопросов является так называемый закон взаимности К. в.: если р и q ≈ простые нечётные числа, то

.

Эту закономерность открыл около 1772 Л. Эйлер , современная формулировка дана А. Лежандром , полное доказательство впервые дал в 1801 К. Гаусс . Удобным обобщением символа Лежандра является Якоби символ . Закон взаимности К. в. получил многочисленные обобщения в теории алгебраических чисел. И. М. Виноградовыми др. учёными изучалось распределение К. в. и суммы значений символа Лежандра.

Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.

Квадратичный вычет по простому модулю p — число a, для которого разрешимо сравнение

Если указанное сравнение не разрешимо, то число a называется квадратичным невычетом по модулю p.