Википедия
Икосододека́эдр — полуправильный многогранник , состоящий из 32 граней (12 правильных пятиугольников и 20 правильных треугольников ). В икосододекаэдре 30 одинаковых вершин, в которых сходятся два треугольника и два пятиугольника, а также 60 одинаковых рёбер, каждое из которых разделяет треугольник и пятиугольник. Двойственный к икосододекаэдру многогранник — ромботриаконтаэдр .
Для икосододекаэдра с длиной ребра a можно выразить некоторые количественные характеристики:
- объём : $V = \frac{a^3}{6} \left(45 + 17\sqrt{5} \right);$
- площадь : $S = a^2 \left(5\sqrt{3}+ 3\sqrt{25+ 10\sqrt{5}} \right);$
- двугранный угол : $\alpha = \arccos\left(-\sqrt{\frac{5+2\sqrt5}{15}}\right) \approx 142,62^\circ.$