Большая Советская Энциклопедия
Изоморфизм, одно из основных понятий современной математики, возникшее сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим образованиям, как группы , кольца , поля и т. п., но оказавшееся весьма существенным для общего понимания строения и области возможных применений каждого раздела математики. Понятие И. относится к системам объектов с заданными в них операциями или отношениями. В качестве простого примера двух изоморфных систем можно рассмотреть систему R всех действительных чисел с заданной на ней операцией сложения x = x1+ x1 и систему Р положительных действительных чисел с заданной на ней операцией умножения y = y1y2. Можно показать, что внутреннее «устройство» этих двух систем чисел совершенно одинаково. Для этого достаточно систему R отобразить в систему Р, поставив в соответствие числу х из R число у = ax(а > 1) из Р. Тогда сумме x = x1 + x2 будет соответствовать произведение y = y1y2 чисел ═соответствующих x1 и x2. Обратное отображение Р на R имеет при этом вид x = loga y. Из любого предложения, относящегося к сложению чисел системы R, можно извлечь соответствующее ему предложение, относящееся к умножению чисел системы Р. Например, если в R сумма членов арифметической прогрессии выражается формулой то в Р произведение членов геометрической прогрессии выражается формулой (умножению на n в системе R соответствует при переходе к системе Р возведение в n-ю степень, а делению на два ≈ извлечение квадратного корня). Изучение свойств одной из изоморфных систем в значительной мере (а с абстрактно-математической точки зрения ≈ полностью) сводится к изучению свойств другой. Любую систему объектов S", изоморфную системе S, можно рассматривать как «модель» системы S («моделировать систему S при помощи системы S" ») и сводить изучение самых разнообразных свойств системы S к изучению свойств «модели» S". Общее определение И. систем объектов с заданными на них в конечном числе отношениями между постоянным для каждого отношения числом объектов таково. Пусть даны две системы объектов S и S", причём в первой определены отношения а во второй ≈ отношения Системы S и S" с указанными в них отношениями называются изоморфными, если их можно поставить в такое взаимно однозначное соответствие (где х ≈ произвольный элемент S, а x" ≈ произвольный элемент S"), что из наличия Fk(x1,x2,...) вытекает F"k (х"1,х"2,...), и наоборот. Само указанное соответствие называется при этом изоморфным отображением, или изоморфизмом. [В приведённом выше примере в системе R определено отношение F (x, x1, x2), где x = x1 + x2, в системе Р ≈ отношение F" (y, y1, y2), где у = у1у2; взаимно однозначное соответствие устанавливается по формулам у = ax, х = 1ogay.] Понятие И. возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу. Аксиомы любой математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией, всегда только с точностью до И.: аксиоматически построенная математическая теория, применимая к какой-либо одной системе объектов, всегда полностью применима и к другой. Поэтому каждая аксиоматически изложенная математическая теория допускает не одну, а много «интерпретаций», или «моделей» (см., например, в ст. Геометрия , раздел Истолкование геометрии). Понятие И. включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма , играющее основную роль в топологии . Частным случаем И. является автоморфизм ≈ взаимно однозначное отображение системы объектов с заданными отношениями Fk(x1, x2, ...) на самоё себя, при котором из Fk(x1, x2, ...) вытекает F"k(x"1, x"2, ...), и наоборот. Это понятие тоже возникло в теории групп, но потом оказалось существенным в самых различных разделах математики. Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 3 изд., М. ≈ Л., 1952; Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М. ≈ Л., 195