Что значит "дифференциал (математич.)"

Дифференциал (от лат. differentia ≈ разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение Dy = f (x0 + Dx) - f (x0) функции f (x) можно представить в виде Dy = f" (x0) Dx + R, где член R бесконечно мал по сравнению с Dх. Первый член dy = f" (x0) Dх в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Dx, а равенство Dy = dy + R показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения Dy. Подробнее о Д. функций одного и нескольких переменных см. Дифференциальное исчисление . Обобщение понятия дифференциала. Обобщение понятия Д. на вектор-функции, начало которому положили в начале 20 в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет лучше выяснить смысл понятия «дифференциал» для функций нескольких переменных, а в применении к функционалам приводит к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления . Важную роль в этом обобщении играет понятие линейной функции (линейного отображения). Функция L (x) векторного аргумента х называется линейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству L (x" + х") = L (x") + L (x") для любых х" и х" из области определения. Линейная функция n-мерного аргумента х = {x1,..., xn} всегда имеет вид L (x) = a1x1 +... + anxn, где a1,..., an ≈ постоянные. Приращение DL = L (x + h) - L (x) линейной функции L (x) имеет вид DL = L (h), т. е. зависит только от векторного приращения h, и притом линейно. Функция f (x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если её приращение Df = f (x + h) - f (x), рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L (h), т. е. выражается в виде Df = L (h) + R (h), где остаток R (h) при h ╝ 0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L (h) приращения Df и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R (h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный Д., то существует и слабый Д., равный сильному Д. Слабый Д. может существовать и тогда, когда сильный не существует. В случае f (x) º x из общего определения следует, что df = h, т. е. можно приращение h считать Д. аргумента x и обозначать dx. Если сделать теперь переменной точку x, в которой определяется Д. df, то он будет функцией двух переменных: df (x; h). Далее, считая h = h1 постоянным, можно найти Д. от дифференциала df (x; h

1. как главную часть приращения

   df (x + h2; h1) ≈ df (x; h1),

   где h2 ≈ некоторое второе, не связанное с h1 приращение x. Получаемый таким образом второй дифференциал d2f = d2f (x; h1, h

2. является функцией трёх векторных аргументов x, h1 и h2, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d2f непрерывно зависит от x, то он симметричен относительно h1 и h2:

   d2f (x; h1, h2) = d2f (x; h2, h1).

   Аналогично определяется дифференциал dnf = dnf (x; h1,..., hn) любого порядка n.

   В вариационном исчислении сам векторный аргумент x является функцией x (t), а дифференциалы df и d2f функционала f [x (t)] называются его первой и второй вариациями и обозначаются df и d2f.

   Всюду выше речь шла об обобщении понятия Д. на числовые функции векторного аргумента. Существует обобщение понятия Д. и на случай вектор-функций, принимающих значения в банаховых пространствах.

   Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.

   А. Н. Колмогоров.