Значение слова гипероператор

В математике гиперопера́тор — это обобщение арифметических операций сложения , умножения и возведения в степень , рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, на высшие порядки. Гипероператор порядка n с аргументами a и b (обозначаемый ab) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка n-1 к последовательности из b одинаковых аргументов, каждый из которых равен a:

• сложение a и b — увеличение числа a на количество единиц, равное b:

$a {^{(1)}} b = a + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{b} = a + b$

• умножение a на b — сложение числа a с самим собой b раз:

$a {^{(2)}} b = \underbrace{a + a + \dots + a}_{b} = a \times b$

• возведение a в степень b — умножение числа a на само себя b раз:

$a {^{(3)}} b = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{b} = a^b$

• ...
• $a {^{(n)}} b = \underbrace{a^{(n-1)} a^{(n-1)} \dots a^{(n-1)} a}_{b}$

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка n>2 не являются ни коммутативными , ни ассоциативными . Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются « тетра́ция », « пента́ция » и «гекса́ция» соответственно.

В простейшем случае значения переменных a, b и n ограничиваются целыми неотрицательными числами. Возможные обобщения гипероператоров на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Разные математики обозначают гипероператоры по разному:

• Кнут использует стрелки  ↑  ;
• Конвей использует стрелки  →  .

ab = hyper(a, n, b) = a ↑ b = a → b → (n − 2)