Значение слова вронскиан

функциональный определитель, составленный из n функций f1(x), f2(x), ┘, fn (x) и их производных до n≈1 порядка включительно:

Обращение В. в нуль [W (x) = 0] является необходимым, а при некоторых дополнительных предположениях и достаточным условием линейной зависимости между данными n функциями, дифференцируемыми n ≈ 1 раз. На этом основано применение В. в теории линейных дифференциальных уравнений . В. введён Ю. Вроньским в 1812.

Вронскиа́н ( определитель Вронского ) системы функций f(x), …f(x), дифференцируемых на промежутке I (n-1)-раз — функция на I, задаваемая определителем следующей матрицы :

W(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1(x) & f_2(x) &\cdots & f_n(x) \\ f"_1(x) & f"_2(x) & \cdots & f"_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I, .

Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций f(x), …, f(x) с n компонентами: f = (f, …, f). Тогда определитель будет выглядеть так (чтобы избежать разночтений обозначим его W):

W_2(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1^1(x) & f_2^1(x) &\cdots & f_n^1(x) \\ f_1^2(x) & f_2^2(x) & \cdots & f_n^2(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^n(x) & f_2^n(x) & \cdots & f_n^n(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I, .

Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений , например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения линейно независимыми. Это помогает в поиске его общего решения .