Что значит "аналитическая функция"

функция, которая может быть представлена в некоторой области степенным рядом. Большинство функций, встречающихся в математике и ее приложениях, аналитические функции. Теория аналитических функций - важнейшая часть теории функций комплексного переменного.

Аналити́ческая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция f называется аналитической в точке z, если сужение функции f на некоторую окрестность z является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке z, то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки z.

Однозначная аналитическая функция одной комплексной переменной — это функция f(z), для которой в некоторой односвязной области $A\subset\mathbb C$, называемой областью аналитичности, выполняется одно из четырёх равносильных условий:

1. Ряд Тейлора функции в каждой точке z ∈ A сходится и его сумма равна f(z) (аналитичность в смысле Вейерштрасса).
2. В каждой точке z = x + iy ∈ A выполняются условия Коши — Римана $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ и $\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} .$ Здесь u(z) и v(z) — вещественная и мнимая части рассматриваемой функции. (Аналитичность в смысле Коши — Римана.)
3. Интеграл $\int\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0$ для любой замкнутой кривой Γ ⊂ A (аналитичность в смысле Коши).
4. Функция f(z) является голоморфной в области A. То есть f(z) комплексно дифференцируема в каждой точке z ∈ A.

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность этих определений.